Методика изучения аксиом стереометрии

Страница 1

Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям: 1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства; 2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.

Первое из них осуществляется через принятие аксиомы: “В каждой плоскости пространства справедливы (выполнимы) все аксиомы планиметрии”. Второе состоит в формулировании нескольких аксиом принадлежности для пространства. В учебнике Погорелова использовано второе направление. Т.к. вводится новый геометрический образ – плоскость, то её основные свойства в пространстве выражают аксиомы:

С1. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С3. Если две различные прямые имеют общую точку. То через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С.

Методическая схема изучения аксиом стереометрии

Разъяснить абстрактный характер геометрических понятий.

Разъяснить сущность аксиом и их роль в построении геометрии, сформулировать аксиомы.

Проиллюстрировать аксиомы на моделях.

Закрепить аксиомы путём логического анализа их формулировок.

Закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии принадлежности в пространстве, к решению задач.

Проиллюстрируем схему на аксиомах группы С.

Понятие плоскость, точка, прямая – абстрактны, т.к. в каждом из случаев отвлекались от свойств ограниченности, линейных размеров, возможной ширины, которыми обладали эти предметы в окружающей действительности.

Перечисленные свойства позволяют строить сечение многогранников, доказывать следствия, вытекающие из аксиом.

В качестве иллюстрации аксиом на модели воспользуемся рисунком куба, по которому учащиеся могут ответить на следующие вопросы: перечислить точки, принадлежащие плоскостям: (ABC),(AA1B1),(D1C1C),(A1B1C1); назвать плоскости, которым принадлежат точки D1,C,B1,A,M,N; назвать линии пересечения плоскостей (AA1D1) и (ABC), (DD1C1) и (BB1C1); имеют ли они общие точки; можно ли провести плоскость через следующие пары прямых: AB и AD, A1B1 и BB1, A1D1 и C1C, BC и AA1.

4. Аксиома С1: “Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей”. Её анализ можно направить вопросами: О каких геометрических фигурах говорится в этой аксиоме? - О плоскости и точках. Что именно говорится о плоскости и точках? - На каждой плоскости имеются точки, принадлежащие ей; для каждой плоскости можно указать точки, которые ей не принадлежат. Сколько утверждений сформулировано в аксиоме С1? Сформулируйте их по отдельности. - Сформулированы два утверждения: 1) какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей; 2) какова бы ни была плоскость, существуют точки, не принадлежащие ей. Какими другими словами можно заменить слова “какова бы ни была плоскость”?

5. На рисунке изображены две различные плоскости a и b, имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости a и b?

Т.к. плоскости – неограниченны и используя аксиому С2, получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.

Задача: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

По аксиоме С3 пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С1, по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно построить.

Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.

Т.15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.

Для лучшего выделения всех предложений, используемых при доказательстве следствия, целесообразно доказательство оформить в виде таблицы с двумя колонками “утверждения” и “на основании”.

Утверждения

На основании

Прямая AB, точка С

Аксиома I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

ABÇAC=A

Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются

плоскость a

Аксиома С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Единственность: $-ет a¢, проходящая через прямую AB и С. Þ aÇa¢ по прямой, которой принадлежат A,B,C.

Аксиома С2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

A,B,C не лежат на одной прямой

Условие задачи

Противоречие.

Страницы: 1 2


Статьи о педагогике:

Модульные технологии обучения истории
Преподавание в школе требует обновления, методики в большей мере, чем в основной. Старшей школе предъявляются новые требования к организации учебной деятельности школьников, предпринимаются попытки ее технологизации, то есть разрабатывается комплекс оптимальных дидактических условий взаимодействия ...

Проблема готовности будущих учителей к творческой музыкально-эстетической деятельности
Условием формирования целостной личности школьника является гармоническое сочетание умственного, физического, нравственного, эстетического воспитания и развития. Роль искусства как фактора воздействия на процесс формирования личности была признана с древнейших времен. Музыка на протяжении столетий ...

Способности ребенка к усвоению иностранного языка
Переход нашей системы образования на гуманистическую парадигму выдвигает на первый план проблемы развития способностей. Психологи отмечают, что как для родителей, так и для педагогов важно знать и учитывать в обучении способности детей, иначе нельзя начинать серьезный разговор об их воспитании . В ...

Меню

Copyright © 2024 - All Rights Reserved - www.mainedu.ru